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선생님께

추론과 문제 해결

2022 개정 수학과 교육과정은 다섯 가지 교과 역량으로 문제해결, 추론, 의사소통, 연결, 정보처리를 들어요. 추론은 규칙을 찾고, 왜 그런지 설명하고, 근거를 들어 정당화하는 힘이에요. 한마디로 “어떻게 알았나요?”에 답하는 힘이지요. 문제해결은 이미 아는 것을 처음 보는 상황에 써 보는 힘이고요.

추론을 기르는 데 따로 차시가 필요하지는 않아요. 날마다 던지는 발문과, 답을 말할 때 까닭도 함께 말하는 교실 분위기에서 자라요. 아래 아이디어는 어느 단원, 어느 학년에서나 쓸 수 있어요.

생각을 여는 발문

몇 가지를 카드로 만들어 칠판 옆이나 교실 벽에 붙여 두고, 입에 붙을 때까지 써 보세요.

• 무엇을 알게 되었나요? 무엇이 궁금한가요?
• 무엇이 같고 무엇이 다른가요?
• 어떻게 알았나요? 그 까닭을 보여 줄 수 있나요?
• 다른 방법은 없을까요? 어느 방법이 더 빠를까요?
• 만약 …라면 어떻게 될까요?
• 예를 하나 들어 볼까요? 이번에는 아무도 생각하지 못할 예를 들어 보세요.
• 항상 그럴까요, 가끔 그럴까요, 절대 그렇지 않을까요?
• 잘못된 곳을 찾아보세요. 답이 말이 되나요?

선생님을 설득해 보세요

학생들이 이미 알고 있는 사실을 하나 주고, 그것이 맞다고 선생님이나 의심 많은 짝을 설득해 보게 하세요. “그냥 알아요”나 “외웠어요”로는 통과할 수 없어요. 까닭을 대야 해요.

• 1학년: 7 + 8 = 15라는 것을 설득해 보세요. 8에 7에서 2를 가져와 10을 만들고, 남은 5를 더하면 15예요. 7 + 7 = 14인데 8은 7보다 1 크니까 14보다 1 큰 15라고 설명해도 좋아요.
• 2학년: 6 × 7 = 42라는 것을 설득해 보세요. 6씩 5묶음은 30이에요. 여기에 6씩 2묶음, 곧 12를 더하면 42가 돼요.
• 3학년: 3분의 1이 4분의 1보다 크다는 것을 설득해 보세요. 김밥 한 줄을 3명이 똑같이 나누면 4명이 나눌 때보다 한 사람이 받는 몫이 더 커요.
• 5학년: 5분의 3이 2분의 1보다 크다는 것을 설득해 보세요. 통분하면 2분의 1은 10분의 5, 5분의 3은 10분의 6이에요. 또는 띠를 5칸으로 나누면 절반은 2칸 반인데, 5분의 3은 3칸이에요.

그림, 바둑돌, 수 모형, 수직선도 모두 훌륭한 근거예요. 가장 좋은 설명이 그림인 경우도 많아요.

○× 퀴즈: 맞을까, 틀릴까?

칠판에 문장 하나를 쓰고, 학생들이 ○나 ×를 고른 다음 까닭을 말하게 하세요. 맞는 문장과 틀린 문장을 섞어야 눈치로 맞히지 못해요.

잘못된 곳을 찾아보세요

틀린 곳이 하나 있는 풀이를 보여 주고, 어디가 틀렸는지 찾아 까닭을 말하고 바르게 고치게 하세요. 자기 공책을 고치는 것보다 부담이 덜하고, 해마다 어김없이 나오는 오개념을 미리 짚을 수 있어요.

• 2학년: 52 − 27 = 35. 일의 자리에서 2 − 7을 할 수 없으니까 7 − 2를 해 버렸어요. 십의 자리에서 10을 받아내리면 12 − 7 = 5, 십의 자리는 4 − 2 = 2라서 답은 25예요. 검산: 25 + 27 = 52.
• 3학년: 824 ÷ 4 = 26. 십의 자리 2는 4로 나눌 수 없는데, 몫의 십의 자리에 0을 쓰지 않고 넘어갔어요. 바른 답은 206이에요. 검산으로 바로 드러나요. 4 × 26 = 104이지만 4 × 206 = 824예요.
• 4학년: ¼ + ¼ = ²⁄₈. 4분의 1이 2개면 4분의 2예요. 분모는 똑같이 나눈 조각의 크기를 나타내니까 더하지 않아요.
• 5학년: 450을 반올림하여 백의 자리까지 나타내면 400이에요. 십의 자리 숫자가 5이므로 올려서 500이에요.
• 5학년: 0.4 × 3 = 0.12. 0.4는 0.1이 4개이니까 3배 하면 0.1이 12개, 곧 1.2예요. 어림해 보아도 0.4의 3배가 0.12처럼 작을 수는 없어요.

답이 여러 개인 열린 문제

답이 여러 개이거나, 답은 하나라도 가는 길이 여러 갈래인 문제는 모든 학생이 시작할 수 있고, 빨리 끝낸 학생에게는 더 나아갈 곳을 줘요.

• 모든 학년: 답이 12가 되는 문제를 만들어 보세요. 만 5세반은 바둑돌로 10과 2를 모으고, 6학년은 3 × 4, 48 ÷ 4, 48의 25%를 떠올릴 수 있어요.
• 1학년: 주사위 두 개를 굴려 나온 눈의 합이 6이 되는 경우를 모두 찾아보세요. 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3이에요. 1 + 5와 5 + 1을 다르게 세면 5가지예요. 어느 쪽이 맞는지 서로 따져 보는 것이 바로 추론이에요.
• 3학년: 문구점에서 한 장에 200원인 스티커와 한 개에 500원인 지우개를 사고 정확히 2,100원을 냈어요. 스티커와 지우개를 각각 몇 개씩 샀을까요? 지우개 1개와 스티커 8장(500 + 1,600 = 2,100), 또는 지우개 3개와 스티커 3장(1,500 + 600 = 2,100)이에요. 2,100원은 100원짜리 21개만큼이라 홀수 개인데, 스티커는 몇 장을 사도 100원짜리 짝수 개만큼이에요. 그래서 지우개는 홀수 개여야 해요. 지우개 5개는 2,500원이라 너무 많아요.
• 5~6학년: 둘레가 20 cm이고 변의 길이가 자연수(cm)인 직사각형이 있어요. 넓이는 얼마일 수 있을까요? 가로와 세로의 합이 10 cm이니까 1 cm와 9 cm, 2 cm와 8 cm, 3 cm와 7 cm, 4 cm와 6 cm, 5 cm와 5 cm예요. 넓이는 9, 16, 21, 24, 25 cm²이고, 한 변이 5 cm인 정사각형일 때 가장 넓어요.

문제를 바꿔 보기

문제를 푸는 것만큼 문제를 들여다보는 것도 좋은 공부예요. 교실에서 자주 하는 활동 세 가지를 하나의 문제로 해 볼 수 있어요.

서준이는 3학년이에요. 문구점에서 한 자루에 500원인 연필 2자루와 1,000원짜리 공책 1권을 샀어요. 모두 얼마를 내야 할까요?

• 필요 없는 정보 찾기: 서준이가 3학년이라는 것은 답을 구하는 데 필요 없어요. 답은 500 × 2 + 1,000 = 2,000원이에요.
• 부족한 정보 찾기: “하윤이는 공책 몇 권을 사고 5,000원을 냈어요. 거스름돈은 얼마일까요?”는 풀 수 없어요. 공책 한 권의 값과 산 권수를 알아야 해요.
• 조건을 바꾸어 새 문제 만들기: 연필을 4자루 샀다면? 500 × 4 + 1,000 = 3,000원이에요. 학생들이 직접 조건을 바꿔 짝에게 내 보게 하세요.

마지막으로 풀이를 되돌아보는 질문을 덧붙이세요. “답이 말이 되나요?”, “다른 방법으로 풀어도 같은 답이 나오나요?”

식과 답, 그리고 서술형 문제

우리나라 교실에서는 문장제를 풀 때 식과 답을 따로 쓰는 것이 기본이에요. 단원평가의 서술형 문제에서는 여기에 풀이 과정을 글로 설명하는 것까지 요구하지요. 이 틀은 계산하기 전에 문제를 천천히 읽고, 알고 있는 것과 구하려는 것을 나누게 해 줘요. 3~4학년 문제로 예를 들어 볼게요.

지우는 문구점에서 한 권에 800원인 공책 3권을 사고 5,000원을 냈어요. 거스름돈은 얼마일까요?

• 알고 있는 것: 공책 한 권은 800원, 3권을 샀어요, 5,000원을 냈어요.
• 구하려는 것: 거스름돈.
• 식: 800 × 3 = 2,400, 5,000 − 2,400 = 2,600
• 답: 2,600원

답은 숫자만 쓰지 말고 문장으로 쓰게 해 보세요. “2,600”이 아니라 “거스름돈은 2,600원이에요.” 문장으로 쓰려면 질문으로 다시 돌아가야 하거든요. 그리고 검산으로 마무리해요. 쓴 돈과 거스름돈을 더하면 낸 돈이 되어야 해요. 2,400 + 2,600 = 5,000. (혼합 계산을 배운 5학년이라면 식을 5,000 − 800 × 3 = 2,600처럼 하나로 써도 좋아요.)

낱말만 보고 연산을 고르는 습관은 조심하세요. ‘남았어요’는 뺄셈처럼 들리지만 “1,500원짜리 우유를 사고 나니 2,000원이 남았어요. 처음에 가진 돈은 얼마일까요?”는 1,500 + 2,000 = 3,500원, 덧셈으로 풀어요. 핵심 낱말에 밑줄을 긋는 것보다 문제를 자기 말로 다시 이야기하고 그림으로 나타내 보는 편이 훨씬 믿을 만해요.

그림으로 나타내기: 띠 그림

교과서는 문장제를 그림으로 나타내 보게 하는데, 그중 수량을 긴 직사각형으로 그리는 방법을 흔히 띠 그림이나 막대 모델이라고 불러요(하나로 굳어진 이름은 없어요). 연산을 고르기 전에 알고 있는 것과 구하려는 것을 눈으로 보게 해 줘요. 저학년은 부분과 전체부터 시작해요. “우리 반 학생 23명 가운데 14명이 방과후 수업에 가요. 나머지는 몇 명일까요?” 전체가 23, 한 부분이 14이니까 다른 부분은 23 − 14 = 9명이에요.

띠 그림은 분수 문제에도 잘 맞아요. 5~6학년에서 이런 문제를 내 보세요. “지호는 모아 둔 용돈의 5분의 2를 쓰고 18,000원이 남았어요. 처음에 모아 둔 돈은 얼마일까요?” 띠를 똑같이 5칸으로 나누고 2칸에 쓴 돈이라고 표시해요. 남은 3칸이 18,000원이니까 한 칸은 6,000원이고, 처음 돈은 6,000 × 5 = 30,000원이에요. 검산: 30,000원의 5분의 2는 12,000원이고, 30,000 − 12,000 = 18,000원이에요.

설명을 돕는 문장 틀

답은 아는데 왜 그런지 말로 하지 못하는 학생이 많아요. 문장 틀은 그런 학생에게 말의 길을 열어 줘요. 선생님이 먼저 써 보이고, 교실에 붙여 두고, 답할 때 문장으로 말하도록 해 보세요.

• …라는 것을 알고 있으니까 …예요.
• 먼저 …하고, 그다음에 …해서 답은 …예요.
• …일 수는 없어요. 왜냐하면 …이기 때문이에요.
• 나는 ○○의 생각에 동의해요(동의하지 않아요). 왜냐하면 …
• 이것은 항상 맞아요 / 맞을 때도 있고 틀릴 때도 있어요 / 항상 틀려요. 왜냐하면 …
• 내 어림값은 약 …였는데, 답이 그것과 가까우니까 알맞은 답 같아요.

짝 활동과 함께 쓰면 더 좋아요. 반 전체 앞에서 발표하기 전에 짝에게 먼저 문장으로 말해 보게 하는 거예요. 자기 생각을 말하고 친구 생각을 듣는 이 과정이 의사소통 역량과 수학에 대한 자신감을 함께 키워 줘요.

자주 묻는 질문

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