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곱셈과 나눗셈

곱셈은 같은 수를 여러 번 더하는 것을 짧게 나타내는 방법이에요. 4 × 3은 ‘4의 3배’, 곧 4씩 3묶음이라는 뜻이고, 4 + 4 + 4 = 12와 같아요. 교과서에서는 “4 곱하기 3은 12와 같습니다”라고 읽어요. 나눗셈은 그 반대로, 어떤 양을 똑같이 나누는 계산이에요. 12 ÷ 3 = 4는 “12 나누기 3은 4와 같습니다”라고 읽어요. 아이들은 두 계산을 이어서 배워요. 2학년에 묶어 세기와 곱셈구구로 곱셈을 익히고, 3학년에 곱셈구구를 이용해 나눗셈을 시작한 다음, 큰 수의 세로셈으로 나아가요.

학년별로 배우는 내용

2022 개정 수학과 교육과정은 두 학년씩 묶은 학년군으로 내용을 정하고, 어느 학기에 무엇을 배울지는 교과서가 정해요. 아래는 교과서에서 보통 배우는 순서예요. 3~6학년은 학교마다 고른 검정 교과서를 써서 단원 순서가 조금씩 다를 수 있어요.

꼭 알아야 할 핵심 개념

1. 곱셈은 똑같은 묶음 세기, 순서를 바꿔도 곱은 같아요

위의 그림처럼 물건을 줄 맞춰 놓으면 곱셈이 한눈에 보여요. 2학년 교과서는 ‘2씩 묶어 세기’, ‘5씩 뛰어 세기’로 시작해서, 4씩 3묶음을 ‘4의 3배’라고 부르고 이것을 4 × 3이라고 쓰는 법으로 나아가요. 그림을 옆으로 돌리면 4개씩 3줄이 3개씩 4줄로 바뀌지만 동그라미는 여전히 12개예요. 그래서 4 × 3 = 3 × 4예요. 곱셈표에서도 같은 곱이 대각선을 사이에 두고 서로 마주 보고 있어요. 곱셈식 4 × 3 = 12에서 12를 곱이라고 해요.

2학년 2학기에는 1의 곱과 0의 곱도 배워요. 어떤 수에 1을 곱하면 그 수가 그대로 나오고(7 × 1 = 7), 0에 어떤 수를 곱하거나 어떤 수에 0을 곱하면 언제나 0이에요(0 × 7 = 0, 7 × 0 = 0). 빈 접시 7개에 담긴 사과를 세어 보면 0 × 7 = 0이라는 것을 바로 알 수 있어요.

2. 나눗셈은 똑같이 나누기, 또는 몇 묶음인지 알아보기

12 ÷ 3은 두 가지 상황에서 나와요. 똑같이 나누어 주기: 붕어빵 12개를 3명이 똑같이 나누어 먹으면 한 사람이 4개씩 먹어요. 몇 묶음인지 알아보기: 붕어빵 12개를 한 봉지에 3개씩 담으면 4봉지가 돼요. 두 번째 상황은 12 − 3 − 3 − 3 − 3 = 0처럼 3씩 4번 덜어 내는 뺄셈으로도 나타낼 수 있어요. 답은 둘 다 4예요. 선생님들은 앞의 것을 ‘등분제’, 뒤의 것을 ‘포함제’라고 부르기도 해요.

12 ÷ 3 = 4에서 12는 나누어지는 수, 3은 나누는 수, 4는 12를 3으로 나눈 몫이에요. 나눗셈은 곱셈을 거꾸로 한 계산이라서 3 × 4 = 12를 알면 12 ÷ 3 = 4와 12 ÷ 4 = 3도 함께 알게 돼요. 교과서에서 ‘곱셈구구로 몫 구하기’라고 하는 것이 바로 이거예요. 56 ÷ 8을 구할 때는 “8에 무엇을 곱하면 56이 될까?” 하고 생각해요. 8 × 7 = 56이니까 몫은 7이에요.

3. 곱셈구구는 2학년 2학기에, 2단부터 9단까지

곱셈구구(집에서는 흔히 ‘구구단’이라고 하죠)는 2학년 2학기에 배워요. 교과서는 보통 2단과 5단, 3단과 6단, 4단과 8단, 7단과 9단을 짝지어 익히고, 마지막에 1단과 0의 곱, 곱셈표로 마무리해요. 학교에서 배우는 곱셈구구는 9 × 9까지예요. 10단, 11단, 12단은 교육과정에 없어요. 외울 때는 “이 일은 이, 이 이 사, … 칠 팔 오십육, … 구 구 팔십일”처럼 한자어 수로 소리 내어 외워요. Beequation Kids의 ‘구구단 정원’에서는 9단을 넘는 곱셈에도 도전할 수 있지만, 학교에서 꼭 외우는 것은 9단까지예요. 집에서 연습하는 방법은 구구단 연습 안내에 모아 두었어요.

외울 것은 생각보다 적어요. 2단부터 9단까지의 곱셈은 64개지만, 순서만 바뀐 것(3 × 8과 8 × 3)을 한 번씩만 세면 36개예요. 게다가 단끼리 서로 이어져 있어요. 4단은 2단의 두 배, 8단은 4단의 두 배, 6단은 3단의 두 배예요(3 × 7 = 21이니까 6 × 7 = 42). 9단은 10씩 묶은 데서 묶음마다 하나씩 덜어 내면 돼요. 9 × 7은 10 × 7 = 70에서 7을 빼서 63이에요. 그리고 9단의 곱은 두 숫자를 더하면 언제나 9가 돼요(18, 27, 36, 45 …).

4. 곱셈 세로셈: 일의 자리부터 차례로

3학년에서는 큰 수의 곱셈을 자리별로 나누어 생각하는 것부터 시작해요. 23 × 3은 20 × 3 = 60과 3 × 3 = 9를 더해서 69예요. 교과서는 이 과정을 수 모형으로 먼저 보여 주고, 그다음에 세로셈으로 써요. 234 × 3은 이렇게 말하면서 계산해요. “4 곱하기 3은 12, 2를 쓰고 1을 십의 자리로 받아올려요. 3 곱하기 3은 9, 받아올린 1을 더하면 10, 0을 쓰고 1을 백의 자리로 받아올려요. 2 곱하기 3은 6, 받아올린 1을 더하면 7.” 답은 702예요.

4학년에서 배우는 (세 자리 수)×(두 자리 수)는 곱셈을 두 번 하고 더해요. 234 × 23이라면 먼저 234 × 3 = 702를 구하고, 다음에 234 × 20 = 4680을 구해요. 23의 2는 십의 자리 숫자라서 2가 아니라 20을 곱하는 것이기 때문이에요. 마지막으로 702 + 4680 = 5382예요.

부모님이 학교에서 배운 방법과 거의 같아요. 다른 점은 요즘 교과서가 수 모형과 자리별 계산으로 ‘왜 그렇게 되는지’를 먼저 보여 준다는 거예요(학교에서 수학을 가르치는 방법에 정리해 두었어요). 4학년에서는 답을 미리 짐작해 보는 어림셈도 배워요. 234를 약 200, 23을 약 20으로 어림하면 200 × 20 = 4000이고, 두 수를 모두 작게 어림했으니 실제 곱은 이보다 커야 해요. 그러니 5382는 그럴듯한 답이에요. 둘째 줄을 한 칸 밀어 쓰지 않아서 1170이 나왔다면 어림한 값보다 훨씬 작으니 바로 알아챌 수 있어요.

5. 나눗셈: 몫과 나머지, 그리고 검산

3학년 2학기에는 나누어떨어지지 않는 나눗셈, 곧 나머지가 있는 나눗셈을 배워요. 사탕 17개를 5명에게 똑같이 나누어 주면 한 사람이 3개씩 받고 2개가 남아요. 이것을 17 ÷ 5 = 3 … 2라고 쓰고, “몫은 3이고 나머지는 2예요”라고 말해요. 나머지가 0이면 “나누어떨어진다”고 해요(15 ÷ 5 = 3). 나머지는 언제나 나누는 수보다 작아야 해요. 나머지가 5개 이상이라면 한 사람에게 하나씩 더 줄 수 있으니까요.

큰 수는 세로셈으로 나눠요. 나누는 수를 괄호 모양 선의 왼쪽에, 나누어지는 수를 선 아래에 쓰고, 몫은 맨 위에 써요. 계산은 높은 자리부터 해요. 857 ÷ 4라면 이렇게 말하면서 풀어요. “8 나누기 4는 2, 4 곱하기 2는 8, 8에서 8을 빼면 0. 5를 내려 쓰고, 5 나누기 4는 1, 4 곱하기 1은 4, 5에서 4를 빼면 1. 7을 내려 써서 17, 17 나누기 4는 4, 4 곱하기 4는 16, 17에서 16을 빼면 1.”

몫은 214, 나머지는 1이에요. 맞게 했는지는 검산으로 확인해요. ‘나누는 수 × 몫 + 나머지 = 나누어지는 수’가 되는지 보면 돼요. 여기서는 4 × 214 = 856, 856 + 1 = 857이니까 맞아요. 교과서는 검산을 외워서 따라 하는 절차보다 ‘왜 확인하는지’를 이해하는 데 무게를 두어요.

4학년에서는 나누는 수가 두 자리인 나눗셈을 배워요. 이때는 몫을 어림하는 힘이 중요해요. 435 ÷ 12라면 먼저 43 안에 12가 몇 번 들어가는지 생각해요. 12를 10쯤으로 보면 4번 같지만, 12 × 4 = 48은 43보다 크니까 3으로 줄여요. 12 × 3 = 36, 43 − 36 = 7. 5를 내려 쓰면 75, 12 × 6 = 72, 75 − 72 = 3. 그래서 435 ÷ 12 = 36 … 3이에요. 검산해 보면 12 × 36 = 432, 432 + 3 = 435예요.

문장제에서는 나머지가 무슨 뜻인지 생각해야 해요. 현장체험학습에서 30명이 한 척에 8명씩 타는 보트에 한 번에 모두 타려면, 30 ÷ 8 = 3 … 6이니까 보트가 3척이 아니라 4척 필요해요. 남은 6명도 타야 하니까요. 반대로 색종이 26장을 한 사람에게 4장씩 나누어 주면 26 ÷ 4 = 6 … 2라서 6명에게 줄 수 있고, 남은 2장으로는 한 사람 몫이 되지 않아요. 6학년이 되면 나눗셈을 끝까지 계속해서 몫을 소수나 분수로도 나타내요(30 ÷ 8 = 3.75).

6. 5학년: 혼합 계산, 약수와 배수

여러 계산이 섞인 식은 계산하는 순서가 정해져 있어요. 괄호 안을 먼저, 그다음 곱셈과 나눗셈, 마지막으로 덧셈과 뺄셈을 앞에서부터 계산해요. 20 − 4 × 3은 4 × 3 = 12를 먼저 해서 20 − 12 = 8이에요. 앞에서부터 차례로 계산해 48이 나왔다면 순서를 놓친 거예요. (20 − 4) × 3처럼 괄호가 있을 때에만 48이 돼요.

약수는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수예요. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4처럼 짝을 지어 찾을 수 있어요. 배수는 어떤 수를 1배, 2배, 3배… 한 수로, 곱셈구구가 끝없이 이어지는 것과 같아요. 6의 배수는 6, 12, 18, 24…예요.

공배수와 공약수는 생활 속 문제로 만나요. 서윤이는 4일마다, 민준이는 6일마다 수영장에 가요. 오늘 둘이 수영장에서 만났다면 다음에 다시 만나는 날은 12일 뒤예요. 12는 4와 6의 최소공배수예요. 딸기 사탕 12개와 레몬 사탕 18개를 남김없이 똑같이 나누어 봉지에 담는다면 봉지는 최대 6개까지 만들 수 있어요(한 봉지에 딸기 사탕 2개, 레몬 사탕 3개). 6은 12와 18의 최대공약수예요. 5학년에서는 이런 수를 차례로 늘어놓아 찾아요.

자주 하는 실수

• 곱셈 세로셈에서 둘째 줄을 한 칸 밀어 쓰지 않기: 234 × 23에서 234 × 2의 468을 702 바로 아래에 맞춰 쓰면 합이 1170이 되어 버려요. 바른 답은 5382예요. 둘째 줄은 234 × 20이라는 것을 떠올리게 해 주세요.
• 받아올린 수를 먼저 더하고 곱하기: 234 × 3에서 십의 자리를 (3 + 1) × 3으로, 백의 자리도 같은 식으로 계산하면 답이 922가 돼요. 받아올린 수는 곱한 다음에 더해요. 3 × 3 = 9에 1을 더해서 10이에요.
• 몫에 0을 빠뜨리기: 824 ÷ 4에서 2를 내려 쓰면 2 안에는 4가 들어가지 않으니 몫의 십의 자리에 0을 써야 해요. 답은 206인데 0을 빠뜨리면 26이 돼요. 검산하면 4 × 26 = 104라서 824가 아니라는 것이 바로 드러나요.
• 나머지가 나누는 수보다 큰 경우: 30 ÷ 8 = 2 … 14처럼 쓰면 틀려요. 14 안에 8이 한 번 더 들어가니까 몫은 3, 나머지는 6이에요.
• 나눗셈의 순서 바꾸기: 곱셈은 순서를 바꿔도 곱이 같지만 나눗셈은 그렇지 않아요. 12 ÷ 3과 3 ÷ 12는 전혀 다른 계산이에요. ‘무엇을 몇으로 나누는지’ 문제를 다시 읽어 보게 해 주세요.

집에서 하는 5분 곱셈·나눗셈 놀이

• 배열 찾기. 집 안에서 줄 맞춰 놓인 것을 찾아보세요. 계란 한 판은 5개씩 6줄이라서 5 × 6 = 30이에요. 초콜릿 한 판, 욕실 타일, 아파트 창문으로도 곱셈식을 만들어 볼 수 있어요.
• 공 주고받으며 뛰어 세기. 공을 주고받을 때마다 3, 6, 9, 12…처럼 3씩(또는 연습하는 단으로) 뛰어 세어요. 끝까지 가면 거꾸로 세어 내려와요.
• 똑같이 나누기. 귤, 방울토마토, 과자를 가족 수대로 똑같이 나누어 보세요. 남는 것이 있나요? 그게 바로 나머지예요.
• 구구단 짝 맞추기. 카드 몇 장에는 곱셈(7 × 8), 다른 카드에는 곱(56)을 써서 뒤집어 놓고, 짝을 맞히면 가져가요.
• 몇 단에 나올까? 수 하나를 말하면 아이가 그 수가 나오는 곱셈구구를 모두 찾아요. 24라면 3 × 8, 4 × 6, 6 × 4, 8 × 3이에요.

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곱셈구구 3단, 4단, 8단초등 2학년, 초등 3학년 · 곱셈구구 섞어 풀기, 도전 문제 포함PDF 다운로드

곱셈구구로 나눗셈하기초등 3학년, 초등 4학년 · 나눗셈의 몫 구하기, 도전 문제 포함PDF 다운로드

(세 자리 수) × (한 자리 수)초등 3학년, 초등 4학년 · 세로셈으로 곱하기PDF 다운로드

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