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분수

분수는 하나의 전체를 똑같이 나눈 것 가운데 일부를 나타내는 수예요. 가로선 아래에 쓰는 분모는 전체를 몇 조각으로 똑같이 나누었는지를, 가로선 위에 쓰는 분자는 그 가운데 몇 조각인지를 나타내요. 교과서에서는 이것을 ‘부분과 전체’의 관계라고 불러요.

학년별로 배우는 내용

2022 개정 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터)은 배울 내용을 두 학년씩 묶은 학년군으로 정해요. 분수는 3~4학년군에서 처음 나오고, 5~6학년군에서 약분과 통분, 분수의 곱셈과 나눗셈으로 이어져요. 1~2학년 교과서에는 분수가 나오지 않아요. 아래 표의 학기 구분은 교과서에서 보통 배우는 순서예요. 3~6학년은 학교가 고른 검정 교과서를 쓰기 때문에 단원 순서가 조금씩 다를 수 있어요.

분수는 이렇게 읽어요

우리말로는 분수를 분모부터 읽어요. ¾은 ‘4분의 3’, ⅖는 ‘5분의 2’, ⁷⁄₁₀은 ‘10분의 7’이에요. ‘분(分)’은 나눈다는 뜻이라서, ‘4분의 3’이라는 말 속에 ‘넷으로 똑같이 나눈 것 가운데 셋’이라는 뜻이 그대로 들어 있어요. 아이가 분수를 읽을 때 이 뜻을 함께 말해 보면 분수가 훨씬 덜 낯설어져요.

교과서는 분자가 1인 분수, 곧 단위분수를 기준으로 분수를 설명해요. ‘¾은 ¼이 3개’, ‘⅖는 ⅕이 2개’처럼요. 이렇게 보면 분수도 자연수처럼 하나, 둘 셀 수 있는 수가 되고, 4학년에서 분모가 같은 분수를 더할 때 큰 힘이 돼요. 1보다 큰 분수 1¾은 ‘1과 4분의 3’이라고 읽어요. 생활 속에서는 ½을 ‘반’이라고 할 때가 많아요. 피자 반 판, 3시 반처럼요.

꼭 알아야 할 핵심 개념

1. 똑같이 나누어야 분수예요

아이들은 아무 조각이나 ‘반’이라고 부를 때가 많아요. 집에서도 “내가 큰 반 먹을래!” 같은 말을 자주 듣지요. 그래서 3학년 교과서도 ‘똑같이 나누기’로 분수를 시작해요. 떡이나 김밥을 자를 때, 색종이를 접을 때마다 “조각의 크기가 모두 똑같아?” 하고 물어봐 주세요. 크기가 다른 두 조각으로 자른 떡은 반으로 나눈 것이 아니에요. 거꾸로, 모양이 달라도 크기가 같으면 똑같이 나눈 거예요. 정사각형 색종이는 가로로 반을 접어도, 대각선으로 반을 접어도 한 칸이 2분의 1이에요.

2. 분수는 도형의 일부일 수도, 묶음의 일부일 수도 있어요

피자 한 판의 반과 사탕 8개의 반은 같은 생각이에요. 3학년 2학기에는 여러 개의 물건을 똑같이 묶어 분수로 나타내고, ‘12의 ¾은 얼마일까요?’ 같은 문제를 풀어요. 방법은 이래요. 분모만큼 똑같이 묶고, 분자만큼 묶음을 세요. 12를 똑같이 4묶음으로 나누면 한 묶음에 3개(12 ÷ 4 = 3)이고, 그중 3묶음은 9개(3 × 3 = 9)예요.

그래서 분수만큼 구하기는 곱셈구구와 나눗셈이 탄탄할수록 훨씬 수월해요. 아이가 이 단원에서 자주 막힌다면 분수보다 나눗셈을 먼저 다시 살펴보세요.

3. 분모가 클수록 한 조각은 작아져요

⅕이 ⅓보다 크다고 생각하는 아이가 많아요. 5가 3보다 크니까요. 이럴 때는 실제로 보여 주는 것이 가장 좋아요. 같은 크기의 떡 하나를 셋이 나누어 먹으면, 다섯이 나누어 먹을 때보다 한 사람에게 돌아가는 조각이 커요.

교과서에서는 두 가지로 정리해요. 단위분수끼리는 분모가 작을수록 커요(⅓ > ⅕). 분모가 같은 분수끼리는 분자가 클수록 커요(⅗ > ⅖). 분모가 같으면 조각의 크기가 같으니, 조각이 많은 쪽이 더 큰 거예요.

4. 1보다 큰 분수도 있어요

분수가 늘 1보다 작은 것은 아니에요. ⅗처럼 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수, ⁴⁄₄나 ⁷⁄₄처럼 분자가 분모와 같거나 분모보다 큰 분수를 가분수, 1¾처럼 자연수와 진분수로 이루어진 분수를 대분수라고 해요. ⁷⁄₄은 ¼이 7개예요. ¼이 4개 모이면 1이 되니까, ⁷⁄₄ = 1¾이에요. 4조각으로 나눈 피자로 생각하면 7조각은 한 판과 3조각이지요. 이 세 가지 이름은 3학년 2학기에 배워요.

5. 다른 분수가 같은 크기일 수도 있어요

5학년에서는 이런 분수를 크기가 같은 분수라고 배워요. 분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하면 크기가 같은 분수가 돼요(½ = ²⁄₄ = ³⁄₆). 거꾸로 분모와 분자를 공약수로 나누어 간단하게 만드는 것을 약분이라고 해요(⁶⁄₈ = ¾). 분모와 분자의 공약수가 1뿐이라 더 이상 약분할 수 없는 분수는 기약분수예요. 분모가 다른 두 분수의 분모를 같게 만드는 것은 통분이에요. ⅔와 ¾을 분모가 12인 분수로 통분하면 ⅔ = ⁸⁄₁₂, ¾ = ⁹⁄₁₂이니 ¾이 더 커요. 약분과 통분에는 5학년 1학기에 먼저 배우는 약수와 배수가 쓰여요.

6. 더하고 빼려면 조각의 크기가 같아야 해요

4학년에서는 분모가 같은 분수끼리 더하고 빼요. 분모는 그대로 두고 분자끼리 계산해요. ⅖ + ⅕ = ⅗이에요. 대분수는 자연수는 자연수끼리, 분수는 분수끼리 더하고, 분수 부분이 가분수가 되면 대분수로 바꾸어 자연수에 더해요. 1⅖ + 2⅘ = 3⁶⁄₅ = 4⅕처럼요. 자연수에서 분수를 뺄 때는 자연수에서 1을 분수로 바꾸어요. 3 − ⅖에서 3을 2⁵⁄₅로 보면 2⁵⁄₅ − ⅖ = 2⅗이에요.

분모가 다르면 먼저 통분해서 조각의 크기를 맞춰요. 이것은 5학년에서 배워요. ½ + ⅓은 두 분수를 모두 6분의 몇으로 바꾸어 ³⁄₆ + ²⁄₆ = ⅚로 계산해요.

5학년 2학기에는 분수의 곱셈을 배워요. 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱해요. ½ × ¼ = ⅛이에요. ‘½의 ¼’, 곧 반의 4분의 1이라고 생각하면 곱했는데도 왜 더 작아지는지 그림으로 이해할 수 있어요. 6학년에는 분수의 나눗셈을 배워요. 3 ÷ 4 = ¾처럼 나눗셈의 몫을 분수로 나타내고, ⅘ ÷ 2 = ⅖처럼 분수를 자연수로 나눈 다음, 분수를 분수로 나눠요. 분모가 같을 때는 분자끼리 나누면 되고(⁶⁄₇ ÷ ²⁄₇ = 6 ÷ 2 = 3), 분모가 다를 때는 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고 나누는 분수의 분모와 분자를 바꾸어 곱해요. ⅔ ÷ ¾ = ⅔ × ⁴⁄₃ = ⁸⁄₉이에요.

자주 하는 실수

• 똑같지 않은 조각을 ‘반’이라고 하기: 더 큰 쪽을 ‘큰 반’이라고 부르는 것. 반은 언제나 크기가 똑같은 두 조각 가운데 하나예요.
• 분모가 크면 더 큰 분수라고 생각하기: 5가 3보다 크니까 ⅕ > ⅓이라고 쓰는 것. 실제로는 ⅕ < ⅓이에요.
• 분모끼리도 더하기: ⅓ + ⅓ = ²⁄₆로 쓰는 것. 정답은 ⅔예요. ²⁄₆는 ⅓과 크기가 같으니, 둘을 더했는데 하나일 때와 같다면 어딘가 잘못된 거예요.
• 분수만큼 구할 때 순서를 바꾸기: 12의 ¾을 구하면서 12를 3으로 나누고 4를 곱해 16이라고 하는 것. 12의 ¾은 12보다 클 수 없다는 것을 떠올리면 바로 알아챌 수 있어요.
• 자연수에서 분수를 뺄 때 1을 바꾸지 않기: 3 − ⅖를 3⅗으로 쓰는 것. 3을 2⁵⁄₅로 바꾸어 계산하면 2⅗이에요.
• 전체를 잊기: 큰 피자의 ½은 작은 피자의 ½보다 많아요. 분수는 언제나 ‘무엇의’ 분수예요.

집에서 하는 5분 분수 놀이

• 간식 똑같이 나누기. “딸기 12개를 우리 셋이 똑같이 나누면 한 사람이 몇 개씩 먹을까? 그건 전체의 몇 분의 몇이야?” (4개씩, 전체의 ⅓)
• 색종이 접기. 색종이를 반으로 접고, 또 반으로 접어 보세요. 펼치면 몇 칸이 생겼나요? 한 칸은 몇 분의 몇일까요? 한 번 더 접으면 8칸이 되고, 한 칸은 ⅛이에요. 칸 몇 개를 색칠하고 분수로 말해 보는 것도 좋아요.
• 김밥 분수. 김밥 한 줄을 10조각으로 썰어 3조각을 먹었다면 먹은 것은 ³⁄₁₀, 남은 것은 ⁷⁄₁₀이에요. 3학년이 되면 ⅒을 0.1이라고 쓰는 것도 배우니, 소수와 이어 주기에도 좋은 놀이예요.
• 피자는 몇 조각? 피자(종이로 만든 피자도 좋아요)를 8조각으로 나누고 3조각을 먹으면, 먹은 것과 남은 것은 각각 몇 분의 몇일까요? (⅜과 ⅝)
• 어느 쪽이 더 클까? 쪽지 두 장에 분수를 하나씩 쓰고, 어느 쪽이 더 큰지 아이와 함께 정해 보세요. 헷갈리면 같은 길이의 띠를 그려서 비교해요.

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