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도형

도형은 모양과 크기, 위치를 다루는 수학이에요. 초등학교에서는 삼각형, 사각형, 원 같은 평면도형과 상자, 기둥, 공처럼 공간을 차지하는 입체도형의 이름과 특징을 배워요. 여기에 선과 각, 도형을 밀고 뒤집고 돌리는 평면도형의 이동, 모양과 크기가 똑같은 합동과 대칭, 쌓기나무로 공간을 생각하는 활동까지 이어져요.

도형은 외우는 것보다 손으로 만지고, 접고, 그려 볼 때 훨씬 잘 이해돼요. 집에 있는 빈 상자 하나, 종이 한 장이 훌륭한 교구예요. 이 페이지를 보면서 아이와 함께 직접 만들어 보세요.

학년별로 배우는 내용

2022 개정 수학과 교육과정은 도형을 측정과 함께 ‘도형과 측정’ 영역에서 다루고, 내용을 두 학년씩 묶은 학년군(1~2학년군, 3~4학년군, 5~6학년군)으로 정해요. 어느 학기에 어떤 단원을 배우는지는 교과서에서 정하기 때문에 아래 표는 보통의 순서예요. 3학년부터는 학교마다 교과서 출판사가 달라서 순서가 조금 다를 수 있어요.

꼭 알아야 할 핵심 개념

1. ‘모양’에서 ‘도형’으로: 변과 꼭짓점

1학년은 이름보다 특징부터 봐요. 상자 모양은 평평한 부분이 있어서 잘 쌓이고, 공 모양은 어느 쪽으로든 잘 굴러가요. 둥근기둥 모양은 눕히면 굴러가고 세우면 쌓을 수 있지요. 2학기에는 물건의 바닥을 종이에 대고 본뜨거나 찰흙에 찍어 보며 △, □, ○ 모양을 찾아요.

2학년이 되면 정확한 이름을 써요. 곧은 선 3개로 둘러싸인 도형은 삼각형, 4개로 둘러싸인 도형은 사각형이에요. 도형을 이루는 곧은 선을 변, 두 변이 만나는 점을 꼭짓점이라고 해요. 원은 굽은 선으로 둘러싸여 있어서 변도 꼭짓점도 없어요. 4학년에는 선분으로만 둘러싸인 도형을 통틀어 다각형이라고 하고, 변의 수에 따라 이름을 붙여요.

변의 길이가 모두 같고 각의 크기도 모두 같은 다각형은 정다각형이에요. 벌집 칸은 거의 완벽한 정육각형이고, 흔히 보는 검은 무늬 축구공은 정오각형 12개와 정육각형 20개를 이어 붙인 모양이에요. 서로 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분은 대각선이에요. 삼각형에는 대각선이 없고, 사각형에는 2개, 오각형에는 5개, 육각형에는 9개가 있어요.

2. 선과 각, 그리고 각도

3학년은 곧은 선을 세 가지로 구별하며 시작해요. 두 점을 곧게 이은 선은 선분, 한 점에서 시작해 한쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선은 반직선, 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선은 직선이에요. 한 점에서 그은 두 반직선으로 이루어진 도형이 각이에요. 교과서에서는 점에 ㄱ, ㄴ, ㄷ 같은 이름을 붙여서 ‘선분 ㄱㄴ’, ‘각 ㄱㄴㄷ’이라고 불러요. 각 ㄱㄴㄷ의 꼭짓점은 가운데 글자인 점 ㄴ이에요.

종이를 반듯하게 두 번 접었을 때 생기는 각이 직각이에요. 책 모서리, 창틀, 공책 귀퉁이에서 쉽게 찾을 수 있어요. 4학년에는 각의 크기인 각도를 배우고 각도기로 재요. 직각의 크기를 똑같이 90으로 나눈 것 중 하나를 1도라 하고 1°라고 써요. 그래서 직각은 90°, 직선이 이루는 각은 180°, 한 바퀴는 360°예요.

• 예각: 0°보다 크고 직각보다 작은 각
• 직각: 꼭 90°인 각
• 둔각: 직각보다 크고 180°보다 작은 각

각도기로 잴 때는 각도기의 중심을 각의 꼭짓점에 맞추고, 각도기의 밑금을 각의 한 변에 맞춰요. 그다음 그 변 쪽에서 0으로 시작하는 눈금을 따라가서 다른 변과 만나는 곳을 읽어요. 각도기에는 안쪽과 바깥쪽에 눈금이 두 줄 있어서, 엉뚱한 줄을 읽으면 50°인 각을 130°로 읽게 돼요. 아이들이 가장 많이 하는 실수예요. 재기 전에 “예각일까, 둔각일까?” 하고 먼저 어림해 보면 이런 실수를 스스로 잡을 수 있어요.

3. 삼각형, 사각형, 원

4학년에는 삼각형을 두 가지 방법으로 나누어요. 변의 길이로 보면 두 변의 길이가 같은 이등변삼각형과 세 변의 길이가 같은 정삼각형이 있어요. 각의 크기로 보면 세 각이 모두 예각인 예각삼각형, 한 각이 직각인 직각삼각형, 한 각이 둔각인 둔각삼각형이 있지요. 이등변삼각형은 두 각의 크기도 같고, 정삼각형은 세 각이 모두 60°예요.

사각형은 3학년에 네 각이 모두 직각인 직사각형, 네 각이 모두 직각이고 네 변의 길이가 모두 같은 정사각형부터 배워요. 4학년에는 두 직선이 만나서 이루는 각이 직각일 때 두 직선이 서로 수직이라고 하고, 아무리 늘여도 서로 만나지 않는 두 직선을 평행하다고 해요. 이 말을 써서 사각형을 더 나누어요.

• 사다리꼴: 평행한 변이 한 쌍이라도 있는 사각형
• 평행사변형: 마주 보는 두 쌍의 변이 서로 평행한 사각형
• 마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형

종이로 만든 삼각형의 세 각을 찢어서 꼭짓점을 한 점에 모아 붙이면 직선 위에 꼭 맞아요. 그래서 삼각형의 세 각의 크기를 더하면 180°예요. 두 각이 40°와 65°라면 나머지 한 각은 180° − 40° − 65° = 75°예요. 사각형은 대각선 하나를 그으면 삼각형 2개로 나뉘니까 네 각의 크기를 더하면 180° × 2 = 360°예요. 세 각이 90°, 90°, 110°인 사각형의 나머지 한 각은 360° − 290° = 70°예요.

원은 3학년에 다시 만나요. 원의 한가운데 점이 원의 중심, 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분이 반지름, 원 위의 두 점을 이으면서 중심을 지나는 선분이 지름이에요. 한 원에서 반지름은 모두 길이가 같고, 지름은 반지름의 2배예요. 반지름이 4 cm인 원의 지름은 8 cm예요. 지름은 원 안에 그을 수 있는 가장 긴 선분이기도 해요. 원을 그릴 때는 컴퍼스를 반지름만큼 벌리고, 침을 중심에 꽂은 채 한 바퀴 돌려요. 6학년이 되면 원의 둘레인 원주가 지름의 약 3.14배라는 것을 배워요. 이 내용은 측정과 단위 페이지에서 더 자세히 다뤄요.

4. 밀기, 뒤집기, 돌리기: 평면도형의 이동

4학년에는 모눈종이 위에서 도형을 움직여 봐요. 밀기는 도형을 어느 방향으로 밀어도 위치만 바뀌고 모양과 방향은 그대로예요. 뒤집기는 도형을 거울에 비춘 것처럼 바꿔요. 오른쪽이나 왼쪽으로 뒤집으면 왼쪽과 오른쪽이, 위쪽이나 아래쪽으로 뒤집으면 위와 아래가 서로 바뀌어요. 같은 방향으로 두 번 뒤집으면 처음 모양으로 돌아오지요.

돌리기는 시계 방향이나 시계 반대 방향으로 90°, 180°, 270°, 360°만큼 돌려요. 시계 방향으로 90°만큼 돌린 모양은 시계 반대 방향으로 270°만큼 돌린 모양과 같고, 180°만큼 돌리면 어느 쪽으로 돌려도 같은 모양이 돼요. 360°만큼 돌리면 한 바퀴를 돌아 제자리예요. 실제로 종이 도형을 오려서 돌려 보면 머릿속으로만 생각할 때보다 훨씬 잘 보여요.

점을 옮길 때는 “점 ㄱ을 오른쪽으로 3칸, 위쪽으로 2칸 옮기세요”나 “오른쪽으로 5 cm 옮기세요”처럼 방향과 칸 수, 길이로 말해요. (2, 3) 같은 좌표는 중학교 1학년에 배워요. 초등학교에서는 방향과 거리로 정확하게 말할 수 있으면 충분해요.

5. 합동과 대칭

5학년에는 모양과 크기가 같아서 포개었을 때 완전히 겹치는 두 도형을 서로 합동이라고 배워요. 포개었을 때 겹치는 점, 변, 각을 대응점, 대응변, 대응각이라고 하고, 합동인 두 도형은 대응변의 길이와 대응각의 크기가 각각 같아요.

한 직선을 따라 접었을 때 완전히 겹치는 도형은 선대칭도형이고, 그 직선을 대칭축이라고 해요. 정다각형은 변의 수만큼 대칭축이 있어요. 원은 중심을 지나는 직선이면 모두 대칭축이라서 대칭축이 셀 수 없이 많아요.

한 점을 중심으로 180°만큼 돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹치는 도형은 점대칭도형이고, 그 점을 대칭의 중심이라고 해요. 정사각형과 직사각형, 정육각형은 선대칭도형이면서 점대칭도형이에요. 정삼각형은 선대칭도형이지만 점대칭도형은 아니고, 평행사변형은 거꾸로 점대칭도형이지만 대개 선대칭도형은 아니에요. 종이에 그려 오린 다음 접어 보고 돌려 보면 직접 확인할 수 있어요.

6. 입체도형: 면, 모서리, 꼭짓점

5학년에는 직사각형 6개로 둘러싸인 직육면체와 정사각형 6개로 둘러싸인 정육면체를 배워요. 입체도형을 둘러싼 평평한 부분이 면, 면과 면이 만나는 선분이 모서리, 모서리와 모서리가 만나는 점이 꼭짓점이에요. 6학년에는 서로 평행하고 합동인 두 다각형이 밑면이고 옆면이 모두 직사각형인 각기둥과, 밑면이 다각형이고 옆면이 모두 삼각형인 각뿔을 배우고, 밑면의 모양에 따라 삼각기둥, 사각뿔처럼 이름을 붙여요.

6학년 교과서에서는 이 표에서 규칙도 찾아요. 밑면이 □각형인 각기둥은 면이 □ + 2개, 모서리가 □ × 3개, 꼭짓점이 □ × 2개예요. 각뿔은 면이 □ + 1개, 모서리가 □ × 2개, 꼭짓점이 □ + 1개예요. 육각기둥이라면 면 6 + 2 = 8개, 모서리 6 × 3 = 18개, 꼭짓점 6 × 2 = 12개로 표와 똑같지요.

입체도형을 종이에 나타내는 방법도 배워요. 겨냥도는 모양을 잘 알 수 있게 그린 그림으로, 보이는 모서리는 실선, 보이지 않는 모서리는 점선으로 그려요. 전개도는 입체도형의 모서리를 잘라서 평면 위에 펼친 그림이에요. 원기둥(음료수 캔), 원뿔(고깔모자), 구(공)는 굽은 면이 있어서 굴러가요. 쌓기나무 단원에서는 쌓은 모양을 위, 앞, 옆에서 보고 그리거나, 그림을 보고 쌓기나무가 몇 개인지 알아내요. 뒤에 숨어서 보이지 않는 쌓기나무까지 생각해야 해서 공간 감각을 기르기에 아주 좋아요.

아이들이 자주 하는 실수

• 기울어진 정사각형은 정사각형이 아니라고 생각하기: 꼭짓점이 아래로 가게 돌려 놓아도 네 각이 직각이고 네 변의 길이가 같으면 여전히 정사각형이에요. 도형을 돌려도 이름은 바뀌지 않아요.
• 늘 보던 그림만 알아보기: 밑변이 바닥에 반듯하게 놓인 삼각형만 삼각형으로 알아봐요. 길쭉한 것, 뒤집힌 것, 기울어진 것까지 여러 모양을 보여 주세요.
• 변이 길면 큰 각이라고 생각하기: 각의 크기는 두 변이 벌어진 정도이지 변의 길이가 아니에요. 변을 더 길게 그려도 각도는 그대로예요.
• 직사각형의 대각선을 대칭축으로 착각하기: 직사각형 종이를 대각선으로 접어 보면 양쪽이 겹치지 않아요. 직접 접어 보는 것이 가장 확실해요.
• 뒤집기와 돌리기를 헷갈리기: 오른쪽으로 뒤집은 모양과 180°만큼 돌린 모양을 같다고 생각해요. 종이 도형을 실제로 뒤집고 돌려서 비교해 보세요.
• 반지름과 지름을 바꿔 쓰기: 반지름이 5 cm인 원의 지름을 5 cm라고 해요. 지름은 중심을 지나 원을 가로지르니까 반지름의 2배예요.
• 보이지 않는 모서리 빼먹기: 상자 그림에서 보이는 모서리 9개만 세어요. 직육면체의 모서리는 뒤쪽에 숨은 3개까지 모두 12개예요.

집에서 5분 동안 하는 도형 놀이

• 우리 집 입체도형 찾기. 부엌과 거실에서 직육면체, 원기둥, 구를 찾아봐요. 휴지 상자, 음료수 캔, 귤이 나올 거예요. 상자를 손에 들고 면, 모서리, 꼭짓점을 함께 세어 보세요.
• 칠교놀이. 칠교판은 큰 삼각형 2개, 중간 삼각형 1개, 작은 삼각형 2개, 정사각형 1개, 평행사변형 1개로 이루어져 있어요. 두꺼운 종이로 만들어서 집, 배, 사람 모양을 만들어 보고, 일곱 조각을 모두 써서 다시 정사각형으로 맞춰 보세요.
• 데칼코마니. 종이 한쪽에 물감을 짜고 반으로 접었다가 펼쳐요. 접은 선이 대칭축이에요. 나비나 꽃을 만들며 선대칭을 자연스럽게 느껴요.
• 로봇 놀이. 아이가 로봇에게 명령하듯 길을 알려 줘요. “앞으로 네 걸음, 시계 방향으로 직각만큼 돌기, 앞으로 두 걸음.” 소파까지 정확히 도착하면 성공이에요.
• 쌓기나무 따라 쌓기. 한 사람이 블록 4~5개로 몰래 모양을 쌓고 말로만 설명해요. “1층에 3개를 한 줄로 놓고, 가운데 것 위 2층에 1개.” 다른 사람이 듣고 똑같이 쌓을 수 있을까요?

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