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규칙과 비율

규칙과 비율은 2022 개정 수학과 교육과정의 네 영역 가운데 변화와 관계 영역에서 배우는 내용이에요. 무늬나 수의 배열에서 규칙을 찾고, 모르는 수를 □로 나타낸 식을 풀고, 함께 변하는 두 양의 관계를 식으로 나타내는 것이 모두 여기에 들어가요. 중학교에서 배우는 ‘문자와 식’의 바탕이 되는 생각이에요. 6학년에는 두 양을 나눗셈으로 비교하는 비와 비율, 그리고 비례식과 비례배분을 배워요. 4인분 떡볶이 레시피로 6인분을 만들거나, 받은 용돈을 정해진 비율로 나누어 가질 때 쓰는 수학이에요.

초등학교에서는 모르는 수를 x 같은 문자로 쓰지 않아요. 2학년부터 □를 쓰고, 5학년에는 □와 △처럼 모양으로 나타내요. 문자는 중학교 1학년이 되어서야 처음 나와요. 그래도 생각하는 방법은 똑같아서, 초등학교에서 □가 있는 식에 익숙해진 아이는 중학교에서 문자를 만나도 훨씬 덜 낯설게 느껴요.

학년별로 배우는 내용

2022 개정 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터)은 배울 내용을 두 학년씩 묶은 학년군으로 정해요. 아래 표의 학년 구분은 교과서에서 보통 배우는 순서예요. 3~6학년은 학교가 고른 검정 교과서를 쓰기 때문에 단원 순서가 조금씩 다를 수 있어요.

꼭 알아야 할 핵심 개념

1. 규칙은 되풀이되기도 하고, 커지기도 해요

만 5세반과 1학년은 ‘빨강, 파랑, 빨강, 파랑’이나 ‘○, △, △, ○, △, △’처럼 같은 묶음이 되풀이되는 규칙부터 찾아요. 그다음에는 바둑돌을 1개, 2개, 3개… 늘어놓는 것처럼 일정하게 커지는 규칙으로 넘어가요. 수 배열표에서는 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 1씩, 아래로 한 칸 갈 때마다 10씩 커지고, 곱셈표의 5단에서는 곱의 일의 자리 숫자가 5, 0, 5, 0으로 되풀이돼요.

3~4학년군에서는 찾은 규칙을 말로만 하지 않고 수나 식으로 나타내요. 4학년에는 계산식의 배열에서 규칙을 찾아 다음에 올 식을 예측해요. 큰 수가 나오기 때문에 계산기를 써도 되는 활동이에요.

11 × 11 = 121
111 × 111 = 12321
1111 × 1111 = 1234321

곱하는 두 수에 1이 하나씩 늘 때마다 곱의 가운데 숫자가 1씩 커지고, 양쪽에는 거울처럼 같은 숫자가 놓여요. 그렇다면 11111 × 11111은 얼마일까요? 규칙대로라면 123454321이에요. 계산기로 확인해 보면 정말 그래요. 조금 더 나아가면 순서와 수 사이의 관계도 식으로 쓸 수 있어요. 3, 7, 11, 15, 19에서 각 수는 ‘순서 × 4 − 1’이에요(첫째: 1 × 4 − 1 = 3, 둘째: 2 × 4 − 1 = 7). 그래서 열째 수는 하나하나 늘어놓지 않아도 10 × 4 − 1 = 39예요.

2. 등호(=)는 ‘양쪽의 크기가 같다’는 뜻이에요

우리말로는 3 + 4 = 7을 ‘3 더하기 4는 7’이라고 읽어요. 그래서 많은 아이가 =를 ‘그래서 답은’이라는 뜻으로 받아들여요. 3 + 4 = 7에서는 문제가 없지만, 7 = 3 + 4나 6 + □ = 4 + 5 앞에서는 막혀 버려요. 2022 교육과정은 3~4학년군에 등호를 써서 크기가 같은 두 양의 관계를 식으로 나타내는 내용을 새로 넣었어요. 8 + 5 = 10 + 3처럼 양쪽에 모두 식이 있는 등식이 옳은지 따져 보는 거예요. 양쪽 모두 13이니 옳은 식이에요.

양팔 저울을 떠올리면 도움이 돼요. 저울이 기울지 않으려면 양쪽 무게가 같아야 하지요. 6 + □ = 4 + 5에서 오른쪽 4 + 5는 9이니, 왼쪽 6 + □도 9가 되어야 해요. 그래서 □에 들어갈 수는 3이에요. 계산하지 않고 알아내는 방법도 있어요. 8 + 5와 10 + 3을 비교하면 앞의 수가 8에서 10으로 2만큼 커졌으니, 뒤의 수는 5에서 2만큼 작아진 3이어야 양쪽이 같아요. 4학년 교과서가 기르려는 것이 바로 이런 눈이에요.

3. □가 있는 식은 거꾸로 생각해요

덧셈과 뺄셈은 서로 되돌리는 관계예요. 곱셈과 나눗셈도 마찬가지예요. 교과서에서는 이것을 ‘덧셈과 뺄셈의 관계’(2학년), ‘곱셈과 나눗셈의 관계’(3학년)라고 배우는데, □가 있는 식을 푸는 열쇠가 바로 이 관계예요. 교과서의 ‘어떤 수’ 문제도 같은 방법으로 풀어요. “어떤 수에 6을 더했더니 15가 되었어요”는 □ + 6 = 15이고, 더한 6을 다시 빼면 15 − 6 = 9예요.

□ − 9 = 7은 ‘어떤 수에서 9를 뺐더니 7이 되었어요’라는 뜻이에요. 뺀 9를 다시 더하면 7 + 9 = 16이에요. □ × 4 = 32라면 나눗셈으로 되돌려요. 32 ÷ 4 = 8이에요. 다 풀었으면 답을 □ 자리에 넣어 확인하는 습관을 들여 주세요. 16 − 9 = 7, 8 × 4 = 32이니 둘 다 맞아요.

4. 함께 변하는 두 양은 대응 관계로 나타내요

5학년 ‘규칙과 대응’ 단원에서는 한 양이 변할 때 다른 양이 어떻게 따라 변하는지 살펴봐요. 꿀벌은 다리가 6개예요. 꿀벌이 1마리면 다리는 6개, 2마리면 12개, 3마리면 18개예요. 이렇게 짝을 지어 표로 정리하면 규칙이 한눈에 보여요.

꿀벌의 수를 □, 다리의 수를 △라고 하면 두 양의 관계는 △ = □ × 6, 거꾸로 쓰면 □ = △ ÷ 6이에요. 꿀벌이 10마리면 다리는 10 × 6 = 60개예요. 같은 식은 벌집에도 숨어 있어요. 벌집의 칸은 정육각형이라서, 한 변의 길이를 □ cm, 둘레를 △ cm라고 하면 이것도 △ = □ × 6이에요.

여기서 중요한 것은 표를 위아래로 보는 눈이에요. 가로로만 보면 ‘다리가 6개씩 늘어난다’는 것만 보이는데, 그것만으로는 꿀벌이 37마리일 때 다리가 몇 개인지 바로 알 수 없어요. 위아래 짝에서 ‘꿀벌의 수 × 6’이라는 대응 규칙을 찾으면 37 × 6 = 222개를 곧바로 구할 수 있어요. 중학교에 가면 □와 △ 자리에 x와 y 같은 문자가 들어가요. 지금 □와 △로 식을 세우는 연습이 그대로 이어지는 거예요.

5. 비는 두 양을 나눗셈으로 비교해요

두 양을 비교하는 방법은 두 가지예요. 뺄셈으로 비교하면 ‘얼마나 더 많은가’를, 나눗셈으로 비교하면 ‘몇 배인가’를 알 수 있어요. 6학년 ‘비와 비율’ 단원에서는 나눗셈으로 비교하는 방법을 배워요. 빨간 구슬 3개와 파란 구슬 2개로 팔찌를 만들었다면, 빨간 구슬 수와 파란 구슬 수의 비는 3 : 2이고 ‘3 대 2’라고 읽어요. ‘3과 2의 비’, ‘2에 대한 3의 비’, ‘3의 2에 대한 비’라고도 해요. 이때 기호 : 의 오른쪽에 있는 2가 비교의 기준이 되는 기준량, 왼쪽에 있는 3이 비교하는 양이에요.

비율은 비교하는 양을 기준량으로 나눈 값이에요. 곧 비율 = (비교하는 양) ÷ (기준량)이에요. 3 : 2의 비율은 3 ÷ 2 = ³⁄₂ = 1.5예요. 비율은 분수로도, 소수로도 나타낼 수 있고, 기준량을 100으로 볼 때의 비율이 바로 백분율이에요. 자유투를 20번 던져 13번 넣었다면, 던진 횟수에 대한 넣은 횟수의 비율은 ¹³⁄₂₀ = 0.65이고, 백분율로는 65%예요.

비에서는 순서가 중요해요. 3 : 2와 2 : 3은 다른 비예요. ‘~에 대한’ 앞에 오는 수가 기준량이라고 기억하면 헷갈리지 않아요. ‘2에 대한 3의 비’에서는 2가 기준량이니 3 : 2로 써요.

6. 비례식과 비례배분: 레시피 늘리기와 나누어 갖기

2 : 3과 4 : 6은 수는 다르지만 비율이 같아요(⅔ = ⁴⁄₆). 비에서 기호 : 의 앞에 있는 수를 전항, 뒤에 있는 수를 후항이라고 하는데, 전항과 후항에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 같은 수로 나누어도 비율은 그대로예요. 이것을 비의 성질이라고 해요. 비율이 같은 두 비를 등호로 이어 2 : 3 = 4 : 6처럼 쓴 식이 비례식이에요. 비례식에서 바깥쪽 두 수(외항)의 곱과 안쪽 두 수(내항)의 곱은 언제나 같아요. 2 × 6 = 12, 3 × 4 = 12처럼요.

레시피를 늘리거나 줄일 때가 비례식을 쓰기 좋은 때예요. 4인분 떡볶이 레시피로 6인분을 만들어 볼까요? 바로 6인분으로 가기보다 2인분을 거쳐 가면(÷ 2 한 다음 × 3) 수가 깔끔하게 떨어져요.

6학년 교과서처럼 비례식으로 써 볼 수도 있어요. 떡의 양은 4 : 6 = 400 : □이에요. 외항의 곱과 내항의 곱이 같으니 4 × □ = 6 × 400 = 2,400이고, □ = 2,400 ÷ 4 = 600이에요. 표에서 구한 600 g과 똑같아요.

전체를 주어진 비로 나누는 것은 비례배분이라고 해요. 할머니께서 지우와 언니에게 용돈 12,000원을 주시면서 1 : 2로 나누어 가지라고 하셨다면, 전체를 1 + 2 = 3칸으로 똑같이 나누어 생각해요.

교과서에서는 이것을 분수로 계산해요. 지우는 전체의 ⅓이니 12,000 × ⅓ = 4,000원, 언니는 전체의 ⅔이니 12,000 × ⅔ = 8,000원이에요. 두 몫을 더하면 4,000 + 8,000 = 12,000원이 되니 맞게 나누었어요. 비가 1 : 2라고 해서 지우의 몫이 전체의 ½인 것은 아니에요. 전체는 1칸이 아니라 3칸이니까요.

자주 하는 실수

• 등호를 ‘답은’으로 읽기: 8 + 5 = □ + 3에서 □에 13을 쓰는 것. 양쪽이 같아야 하니 □는 10이에요.
• 거꾸로 계산할 때 방법을 잘못 고르기: □ − 9 = 7에서 9 − 7 = 2라고 하는 것. 뺀 9를 다시 더해 7 + 9 = 16이에요.
• 앞의 두 수만 보고 규칙 정하기: 2, 4 다음은 6일 수도 있지만, 2, 4, 8, 16처럼 2배씩 커지는 규칙일 수도 있어요. 규칙은 끝까지 맞는지 확인해야 해요.
• 대응 관계 식을 거꾸로 쓰기: 꿀벌의 수가 □, 다리의 수가 △일 때 □ = △ × 6이라고 쓰는 것. 다리가 더 많으니 △ = □ × 6이에요. 수 하나를 넣어 보면(꿀벌 2마리, 다리 12개) 바로 확인할 수 있어요.
• 비의 순서 바꾸기: ‘2에 대한 3의 비’를 2 : 3으로 쓰는 것. 기준량 2가 뒤로 가서 3 : 2예요.
• 비와 분수를 헷갈리기: 1 : 2로 나눌 때 지우의 몫을 전체의 ½로 계산하는 것. 전체가 3칸이니 ⅓이에요.
• 레시피를 늘릴 때 곱하지 않고 더하기: 4인분을 6인분으로 만들면서 모든 재료를 2씩 더하는 것. 어묵은 4장에 2장을 더해도 우연히 6장으로 맞지만, 떡 400 g은 402 g이 아니라 600 g이 되어야 해요.

집에서 하는 5분 규칙 놀이

• 컵 속에 숨은 바둑돌. 바둑돌 10개를 탁자에 놓고, 아이가 눈을 감은 사이에 몇 개를 컵으로 덮어요. “6개가 보이니까 컵 속에는 4개!” 식으로 쓰면 □ + 6 = 10이에요.
• 내가 생각한 수는? “어떤 수에 5를 더했더니 12가 되었어. 어떤 수는 뭘까?” (7) 다음에는 역할을 바꿔 아이가 문제를 내게 해 보세요. 문제를 만들려면 거꾸로 생각해야 해서 더 좋은 연습이 돼요.
• 수 기계 놀이. 아이가 수를 말하면 몰래 2를 곱하고 1을 더한 답을 알려 주세요. 3을 넣으면 7, 5를 넣으면 11이 나와요. 누가 먼저 규칙을 알아낼까요? 넣은 수와 나온 수를 표로 써 보면 5학년의 대응 관계와 똑같아요.
• 바둑돌 무늬. 흑, 백, 백, 흑, 백, 백처럼 되풀이되는 무늬를 놓고 다음에 올 돌을 맞혀요. 익숙해지면 1개, 3개, 5개처럼 커지는 무늬로 바꾸어 “다음에는 몇 개가 필요할까?” 하고 물어보세요.
• 매실 주스 비율. 매실청과 물을 1 : 4로 섞는다면 500 mL 컵 하나에 매실청은 얼마나 넣을까요? 모두 1 + 4 = 5칸이니 한 칸은 100 mL, 매실청 100 mL에 물 400 mL예요. 요리할 때 레시피를 반으로 줄이거나 두 배로 늘리는 것도 함께 해 보세요.

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자주 묻는 질문

Beequation Kids의 벌집 퍼즐도 빈칸에 숨은 수를 주변 칸을 보고 찾아내는 놀이라서, □가 있는 식을 연습하기에 잘 맞아요.

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